Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasındaki İlişki

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda SeLeN tarafından 2 Ocak 2011 tarihinde açılan konu

  1. SeLeN

    SeLeN Site Yetkilisi Editör

    Sponsorlu Bağlantılar
    Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasındaki İlişki konusu Pascal üçgeni ile kombinasyon arasındaki ilişki nedir - Pascal üçgeni nedir - kombinasyon örnekleri - Pascal üçgeni - Pascal üçgeni çözümleri


    pascal üçgenindeki sayıların dizilimi kombinasyon ile bire bir ilişkilidir.
    Mesela pascal üçgeninin 4. satırını alalım sayılar 1-4-6-4-1 şeklidedir ki bunlar 4'ün tüm kombinasyonlarını(0'dan 4'e) temsil ederler.
    1 - > C(4,0)
    4 - > C(4,1)
    6 - > C(4,2)
    4 - > C(4,3)
    1 - > C(4,4)
    Her satırında bu böyledir. 6. satırda 6'nın kombinasyonları, 12. satırda 12'nin kombinasyonları bulunur.






    Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
    Kümenin Eleman Sayısı:

    s(A)=0............................................ ...............1
    s(A)=1............................................ ............1.....1
    s(A)=2............................................ .......1.....2.....1
    s(A)=3............................................ ..1.....3.....3.....1
    s(A)=4..........................................1. ....4.....6.....4.....1
    s(A)=5......................................1..... 5.....10....10.....5....1 ...

    Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının topl****** bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
    Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1
    s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1
    Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
    A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
    0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
    1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
    2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
    3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

    s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.
    Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
    *6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
    satırındaki üçüncü sayı)
    *5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
    3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
    4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
    *7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
    1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
    2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

    Binom Açılımı:
    (a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.


    (a+b)5=?
    Katsayılar 1 5 10 10 5 1
    A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
    B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

    (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5


    *(5x-3y)2=?
    Katsayılar 1 2 1
    5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
    -3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
    (5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2



    II. KOMBİNASYON
    TANIM
    r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
    n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

    [​IMG]

    Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.

    [​IMG]

    Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:

    [​IMG]

    Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
    a) Çizilebilecek doğru sayısı

    [​IMG]

    b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan

    [​IMG]

    tane üçgen çizilebilir.

    Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane [​IMG] doğru en çokfarklı noktada kesişirler.
    Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.

    [​IMG]

    Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan

    [​IMG]

    tane paralelkenar oluşur.
    Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en [​IMG]çok tane kesim noktası vardır.
    III. BİNOM AÇILIMI
    A. TANIM
    n Î IN olmak üzere,

    [​IMG]

    ifadesine binom açılımı denir.
    Burada;

    [​IMG]

    sayılarına binomun katsayıları denir.

    [​IMG]

    ifadelerinin her birine terim denir.

    [​IMG] ifadesinde [​IMG] katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.
    B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
    1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
    2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir.
    3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
    4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;

    baştan (r + 1). terim : [​IMG]
    sondan (r + 1). terim : [​IMG]

    (x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.
    Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
    Ü n Î N+ olmak üzere,
    (x + y)2n nin açılımında ortanca terim

    [​IMG]
    Ü n Î IN+ olmak üzere,

    (xm + )n açılımındaki sabit terim,
    ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.
    Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için
    x = [​IMG]0 ve y = 0 yazılır.
    Ü (a + b + c)n nin açılımında
    ak . br . cm li terimin katsayısı;

    [​IMG]

    OMBİNASYON TABLOSU SAYILARI PASCAL SAYILARIDIR YANİ AYNI TABLODUR
    ÖRNEK.
    1xx0000001--1
    6xx0000043--258
    15xx000903--13545
    20xx012341--246820
    15xx123410--1851150
    6xx0962598--5775588
    1xx6096454--6096454
    --------------+
    ------------------------------------
    -------sonuç...13983816
    ÇIKAN BU SONUÇ 6/49 SONUÇUDUR

    İKİ PASCAL DİYE BİLİNEN SAYILARIN HESABI
    BUNA KAT SAYILARI HESABI DENİR.

    BUNU DAHA ÇOK AÇMAK İSTERDİM AMA BU KADAR
    ........YETERLİDİR HER HALDE......


    KAT SAYILARI HESABI İLE İSTENİLEN SAYIYA NOKTA VURUŞLARI
    YANİ DAHA KÜÇÜK SAYILAR İLE SONUÇA ULAŞMA

    İKİNCİ SIRA KOMBİNASYON SAYISI 44.DEN BAŞLAR

    1x44-000000000044
    5x946-00000004730
    10x13244-00132440
    10x135751-1357510
    5x1086008-5430040
    1x7059052-7059052
    -------------+
    --------------------------
    -------sonuç-13983816
    ---------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇARPILAN KOMBİNASYON SAYISI 45.DEN BAŞLAR

    1x990-00000000990
    4x14190-000056760
    6x148995-00893970
    4x1221759-4887036
    1x8145060-8145060
    -----------+
    -------------------------
    ------sonuç-13983816
    ---------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇARPILAN KOMBİNASYON SAYISI 46.DAN BAŞLAR

    1x15180-000015180
    3x163185-00489555
    3x1370754-4112262
    1x9366819-9366819
    ------------+
    ------------------------
    -----sonuç-13983816
    ----------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇARPILAN KOMBİNASYON SAYISI 47.DEN BAŞLAR

    1x178365-0000178365
    2x1533939-003067878
    1x10737573-10737573
    -------------+
    ----------------------------
    --------sonuç-13983816
    ----------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇAPILAN KOMBİNASYON SAYISI 48.DEN BAŞLAR

    1x1712304-001712304
    1x12271512-12271512
    -------------+
    -------------------------------
    --------sonuç-13983816
    --------------------------------------------





    KAT SAYILARI HESABI İLE İSTENİLEN SAYIYA NOKTA VURUŞLARI
    YANİ DAHA KÜÇÜK SAYILAR İLE SONUÇA ULAŞMA

    İKİNCİ SIRA KOMBİNASYON SAYISI 44.DEN BAŞLAR

    1x44-000000000044
    5x946-00000004730
    10x13244-00132440
    10x135751-1357510
    5x1086008-5430040
    1x7059052-7059052
    -------------+
    --------------------------
    -------sonuç-13983816
    ---------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇARPILAN KOMBİNASYON SAYISI 45.DEN BAŞLAR

    1x990-00000000990
    4x14190-000056760
    6x148995-00893970
    4x1221759-4887036
    1x8145060-8145060
    -----------+
    -------------------------
    ------sonuç-13983816
    ---------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇARPILAN KOMBİNASYON SAYISI 46.DAN BAŞLAR

    1x15180-000015180
    3x163185-00489555
    3x1370754-4112262
    1x9366819-9366819
    ------------+
    ------------------------
    -----sonuç-13983816
    ----------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇARPILAN KOMBİNASYON SAYISI 47.DEN BAŞLAR

    1x178365-0000178365
    2x1533939-003067878
    1x10737573-10737573
    -------------+
    ----------------------------
    --------sonuç-13983816
    ----------------------------------------------
    İKİNCİ SIRA ÇAPILAN KOMBİNASYON SAYISI 48.DEN BAŞLAR

    1x1712304-001712304
    1x12271512-12271512
    -------------+
    -------------------------------
    --------sonuç-13983816


    alinti
     

Bu Sayfayı Paylaş