Olasılık Nedir - Olasılık Anlamı - Olasılık Örnekleri

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda SeLeN tarafından 2 Ocak 2011 tarihinde açılan konu

  1. SeLeN

    SeLeN Site Yetkilisi Editör

    Sponsorlu Bağlantılar
    Olasılık Nedir - Olasılık Anlamı - Olasılık Örnekleri konusu olasılık tanımı - herhangi bir maddenin olmaması olasılığı - iki olayın bileşimi olasılığı - olasılık çeşitleri

    Çıktı: Bir deneyde elde edilecek sonuçların herbirine denir.

    Evrensel küme: Çıktıların oluşturduğu kümeye evrensel küme denir.Evrensel kümeye her eleman 1 kez yazılır. KAHRAMANMARAŞ kelimesinin harflerini inceleyelim.
    E=(K,A,H,R,M,N,Ş) s(E)=7

    Örnek uzay: Bir deneyde gelebilecek çıktılar kümesine denir.Herbir çıktı ayrı ayrı yazılır.
    Ö=(K,A,H,R,A,M,A,N,M,A,R,A,Ş)

    Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay denir.Yani olması istenen çıktıların kümesine denir.
    K olma olayı (K) 1 elemanlı
    A olma olayı (A,A,A,A,A) 5 elemanlı

    Bağımlı olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştiriyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir.

    Bağımsız olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir.

    Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaylara denir. o(A)=1 olan olaylardır.
    Örneğin sınava çalışmayan bir öğrencinin sınavdan kötü not alması kesin bir olaydır.

    İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir. o(A)=0 olan olaylardır. Örneğin balığın kavağa çıkması imkansız bir olaydır.

    Olasılık: P(A)=S(A) / S(E)
    Bir olayın olasılığı=istenilen durumların sayısı / tüm durumların sayısı
    p(A)=0 ise imkansız olay=gerçekleşmesi mümkün değil
    P(A)=1 ise kesin olay=gerçekleşmesi kesin
    Herhangi bir olayın olmama olasılığı:
    P’(A) = 1 – P(A)

    Örnek: Ö=(M,A,R,M,A,R,A) s(Ö)=7
    çekilen bir harfin A olma olasılığı O(A)=3/7
    çekilen bir harfin A olmama olasılığı O(A’)=1-3/7=4/7
    Bağımsız olay:
    Birbirlerini etkilemiyorlarsa(para-zar)
    P(A Ç B)= P(A) . P(B)

    örnek: Para ile zar aynı anda atılıyor.Paranın yazı, zarında 3 gelmesi olasılığı kaçtır?
    P(A Ç B)= 1/2 . 1/6 = 1/12

    Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı:
    P(AUB)= P(A) + P(B)

    örnek: Bir kutuda 1′den 10′a kadar numaralandırılmış 10 kart vardır.Kutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?
    P(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5

    Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı:
    P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A Ç B)

    örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3′ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz?
    E=(1,2,3,4,5,6)
    A=(4,5,6)
    B=(2,4,6)
    A Ç B=(4,6)
    P(AUB)= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

    Problem: Okan, alfabemizdeki bütün harfleri aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazarak boş bir kutuya atmıştır. Emel, kutudan rasgele bir kâğıt çekmiştir.

    Çekilen kâğıtta ünlü harf olma olasılığı nedir?

    Deney: Eş özelliklere sahip kâğıt üzerine yazılmış olan alfabemizdeki harflerden birinin seçilmesi.

    Örnek uzay:

    O={alfabemizdeki tüm harfler} veya

    Ö={a,b,c,ç,d,e,f,g,ğ,h,ı,i,j,k,l,m,n,o,ö,p,r,s,ş,t ,u,ü,v,y,z}, s(Ö)=29

    Olay:

    H={bir ünlünün çekilmesi}veya H={a,e,ı,i,o,ö,u,ü},
    s(H)=8

    Olayın çıktıları:

    a, e, ı, i, o, ö, u, ü

    Eş olasılıklı olma: Her bir harfin çekilme olasılığı eşittir.

    Evrensel kümede her bir eleman bir kez yazılır fakat örnek uzayda çıktılar kaç tane ise o kadar yazılır.

    Örnek:

    a. “MATEMATİK” kelimesinin harflerinden oluşan evrensel küme: E={M, A, T, E, İ, K}

    b. “Matematik” kelimesinin her bir harfi aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazılarak torbaya atılmıştır.

    “Bakmadan bir kâğıt çekildiğinde çıkan harfin “A” olma olasılığı nedir?” sorusundaki örnek uzay:

    Ö={M, A, T, E, M, A, T, İ, K}

    Olasılık çeşitleri

    Deneysel olasılık: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılığa denir. Bu olasılıkta deneyin yapıldığı problemin içinde geçer, problemi okuduğunuzda bir şeyler yapıldığını anlar, verileri görürsünüz.

    örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor. Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 3/20

    Teorik olasılık: Bir olasılık deneyinden teorik olarak beklenen olasılığa denir.Genelde şimdiye kadar karşılaştığımız problem tipleridir.İstenen durumların sayısını tespit edip tüm durumlara böleriz.
    örnek: 25 yumurtadan bazıları çift sarılıdır.Ali’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4′tür. Ayşe’ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6′dır.
    örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 1/6

    Öznel olasılık: Kişilerin kendi düşüncelerine göre karar verdikleri olasılıklara denir.Bu tip problemlerde kişilerin ismi ve tahmini yer alır.


    alıntı
     
  2. Mavi_inci

    Mavi_inci Özel Üye

    Olasılık Nedir? Bağımsız Olay Nedir? Koşullu Olasılık Nedir? Olasılık Formülü Nedir?

    Bir deneyde olanaklı sonuçların kümesine örnek uzay, örnek uzayın her alt kümesine olay denir.

    E örnek uzayı için boş kümeye olanaksız olay(imkansız olay), E kümesine kesin olay
    A ∩ B = 0 ise, A ve B olaylarına denir. E örnek uzayının A ve B gibi iki olayı için,ayrık olaylar denir.

    Olasılık Nedir?
    Bir E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi T ve değer kümesi R={x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} olan P fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları gerçekliyorsa buna olasılık fonksiyonu denir. A ∈ T ise p(A) reel sayısına da A olayının olasılığı denir.

    1) ∀A ∈ T için 0 ≤ p(A) ≤ 1 dir.
    2) p(E)=1 dir.
    3) A, B ∈ T ve A ∩ B = 0 ise p(A ∪ B)=p(A)+p(B) dir.

    Özellikler

    1) P(0)=0 dır.
    2) A ⊂ B ise p(A) ≤ p(B)
    3) p(A)=1 - p(A) (A olayının olmama olasılığı)
    4) p(A ∪ B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B) dir.
    5) E={x1,x2,x3} örnek uzayları için:
    p(x1)+p(x2)+p(x3)=1 dir

    Eş Olumlu Örnek Uzay Nedir?

    Olayların gerçekleşme olasılığı eşit olan örnek uzaya denir.
    E eş olumlu örnek uzay ve A ⊂ E bir olay ise, A nın olasılığı;

    [​IMG]
    P(A) = (A nın eleman sayısı) / (E nin eleman sayısı)

    Bağımsız Olay Nedir?

    E örnek uzayı A ⊂ E, B ⊂ E ve p(A ∩ B)=p(A).p(B) ise, A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir.
    [p(A) ≠ 0, p(B) ≠ 0]

    Koşullu Olasılık Nedir?

    Bir E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. A olayının olasılığı B olayına bağlı ise, A olayının olasılığına, A olayının B koşullu olasılığı denir ve bu olasılık;

    [​IMG]

    ile gösterilir.Örnek uzay eş olumlu ise;

    [​IMG]

    olur
     

Bu Sayfayı Paylaş