Kartezyen Çarpım ve Bağıntı

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda SeLeN tarafından 5 Aralık 2010 tarihinde açılan konu

  1. SeLeN

    SeLeN Site Yetkilisi Editör

    Sponsorlu Bağlantılar
    Kartezyen Çarpım ve Bağıntı konusu kartezyen çarpım nedir - kartezyen çarpımın özellikleri - bağıntı nedir - bağıntının özellikleri

    A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.

    A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.

    A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.

    A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.

    KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ

    i) s(A) = m ve s(B) = n ise

    s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.

    ii) A x (B x C) = (A x B) x C

    iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

    iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)

    v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

    vı) A x Æ = Æ x A = Æ

    vıı) [​IMG]

    BAĞINTI

    A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

    Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.

    b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.

    s(A) = m ve s(B) = n ise,

    A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

    A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

    s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

    A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı

    b Ì A x B olmak üzere,

    b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi

    b-1 Ì B x A dır.

    Buna göre, b bağıntısının tersi

    b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

    E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

    b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

    1. Yansıma Özelliği

    A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)

    b ise, b yansıyandır.

    "x Î A için, (x, x) Î b® b yansıyandır.

    2. Simetri Özelliği

    b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

    "(x, y) Î b için (y, x) Î b ® b simetriktir.

    b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.

    s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

    [​IMG]

    s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2 - n) dir.

    3. Ters Simetri Özelliği

    b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

    x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.

    b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

    4. Geçişme Özelliği

    b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

    "[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,

    [​IMG]

    olmalı

    b bağıntısının geçişme özelliği vardır.

    BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

    1. Denklik Bağıntısı

    b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

    b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.

    x º y biçiminde gösterilir.

    b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.

    –a biçiminde gösterilir.

    Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,

    –a = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.

    2. Sıralama Bağıntısı

    A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.


    alıntı
     

Bu Sayfayı Paylaş