Karmaşık sayılarda mutlak değer

'Frmartuklu Soru-Cevap Bölümü' forumunda Kayıtsız Üye tarafından 14 Mart 2011 tarihinde açılan konu

  1. Sponsorlu Bağlantılar
    Karmaşık sayılarda mutlak değer konusu lütfen yardım edin çok acil

    Karmaşık sayılar

    Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
    [​IMG] Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup [​IMG] özelliğini sağlayan sanal birime [​IMG] denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde [​IMG] yerine, [​IMG] kullanılır.
     
    En son bir moderatör tarafından düzenlenmiş: 17 Nisan 2015
  2. Mavi_inci

    Mavi_inci Özel Üye

    Karmaşık sayılar

    Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler
    [​IMG] Genel olarak karmaşık sayılar için "z" harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup [​IMG] özelliğini sağlayan sanal birime [​IMG] denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde [​IMG] yerine, [​IMG] kullanılır.

    Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı [​IMG] olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

    Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

    [​IMG]

    Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. [​IMG][​IMG] uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için, [​IMG] uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla [​IMG] uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

    Tanım

    Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, [​IMG]. Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

    Kartezyen uzay tanımı

    Gerçel sayılar kümesinde her sayıyı [​IMG] ile çarparsak elde ettiğimiz [​IMG] kümesi önceki [​IMG]

    [​IMG]

    olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer [​IMG] yerine tamsayılar cismi [​IMG] alınırsa oluşan karmaşık tamsayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.

    Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir: [​IMG] olmak üzere;

    z = (a,b)

    Burada açıkça Re(z) = a ve Im(z) = b dir.

    Cisim genişlemesi tanımı

    Karmaşık sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. [​IMG] sayısı x2 + 1polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de [​IMG] olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

    [​IMG]

    Bu durumda

    [​IMG]

    olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının x2 + 1 polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:

    [​IMG]

    Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü [​IMG] karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının [​IMG] olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

    Matris (dizey) tanımı

    Karmaşık sayıları, gerçel katsayılı 2x2'lik matrislerin bir altkümesi olarak düşünebiliriz. Birim sayıları

    [​IMG] ve [​IMG]

    olarak tanımlanırsa böylece her bir karmaşık sayı

    [​IMG]

    olarak ifade edilebilir ki burada a,b [​IMG] alınmıştır. Kaldı ki
    [​IMG]

    olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde karmaşık sayılar

    [​IMG]

    şeklinde tanımlanmış olur.

    Karmaşık sayılarda işlem

    Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

    Eşitlik

    Bir [​IMG] ve [​IMG] karmaşık sayıları için

    z = w ancak a = c ve b = d iken geçerlidir.

    Toplama

    Bir [​IMG] ve [​IMG] karmaşık sayıları için

    [​IMG]

    Çarpma

    Bir [​IMG] ve [​IMG] karmaşık sayıları için

    [​IMG]

    Eşlenik


    Bir [​IMG] karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi [​IMG] dönüşümüdür ve

    [​IMG]

    ya da matrislerde

    [​IMG]
    olarak tanımlanır.

    Eşleniğin cebirsel özellikleri sayısı gerçel kısmı Re(z) = 4, sanal kısmı Im(z) = − 7 olan kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle
    • [​IMG]
    • [​IMG]
    • [​IMG]
    • [​IMG]
    • [​IMG] ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.
    [​IMG]
    Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.


    Mutlak Değer

    Bir [​IMG] karmaşık sayısı için

    [​IMG]

    ya da

    [​IMG]

    olarak tanımlıdır.

    Mutlak değerin cebirsel özellikleri
    • [​IMG] ancak [​IMG] iken geçerlidir.

    • [​IMG] (üçgen eşitsizliği)

    • [​IMG]
    Çarpımsal Ters

    Bir [​IMG] karmaşık sayısının tersi

    [​IMG]

    olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak

    [​IMG]

    olduğu görülür.

    Bölme

    Bir [​IMG] ve [​IMG] karmaşık sayıları için

    [​IMG]



    İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı

    [​IMG]

    şeklinde ifade edilebilir. Ancak dörtlük sayılarla karıştırılmamalıdır. Çünkü bu kümede

    [​IMG]

    iken

    [​IMG]

    olarak tanımlanır. Zira, bu sayılar dörtlük sayıların değişmelisi olarak anılır.

    Bu maddede çifte karmaşık sayı,

    [​IMG]

    olarak gösterilecektir.

    Tanım

    Çifte karmaşık sayılar birkaç şekilde tanımlanabilir. En yaygın tanımı iki farklı karmaşık sayı kümesinin birleştirimi olduğu için küme çifte karmaşık sıfatını almıştır.

    İki karmaşık birim sayı tanımı

    İki farklı karmaşık sayı kümesi olduğunu varsayalım: [​IMG] ve [​IMG]. Her birinin karmaşık birimleri sırasıyla [​IMG] ve [​IMG] olsun. Bu durumda bu iki birimin çarpımı

    [​IMG]

    olarak tanımlanır ve bu sayıya 'hiperbolik birim sayı adı verilir. Açık olarak görülür ki bu birim sayı,

    [​IMG]

    özelliğini sağlar. O halde bir çifte karmaşık sayı

    [​IMG]

    olarak ifade edilebilir.

    Karmaşık katsayılı hiperbolik sayı tanımı

    Eğer hiperbolik sayı tanımını

    [​IMG]

    gibi karmaşık katsayılı olarak alırsak her çifte karmaşık sayı

    [​IMG]

    şeklinde ifade edilecektir. Burada

    [​IMG]

    olarak tanımlamakla her çifte karmaşık sayıyı

    [​IMG]

    şeklinde ifade etmiş ve istediğimiz özellikleri sağlamış oluruz.

    Alıntı
     
    En son bir moderatör tarafından düzenlenmiş: 14 Mart 2011
  3. eglenceli bir konu zevkli
     

Bu Sayfayı Paylaş