Kümelerde İşlemler Hakkında Bilgi

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda Mavi_inci tarafından 2 Ocak 2011 tarihinde açılan konu

  1. Mavi_inci

    Mavi_inci Özel Üye

    Sponsorlu Bağlantılar
    Kümelerde İşlemler Hakkında Bilgi konusu Kümelerde İşlemler Hakkında Bilgi

    Küme, "nesneler topluluğu veya yığını" olarak tanımlanan bir matematik terimi. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade eder. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz abecesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıktır. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif eder. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin bir topluluğuna küme denir" biçiminde bir tanımlama sezgisel olarak ilk başta yeterli olacaktır.


    Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırdedilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.


    Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin öğeleri adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir öğesidir. Bir kümenin öğesi olan bir nesneye o kümenin içindedir ya da kümeye aittir denir. Küme tanımına göre bir öğe ya kümenin içindedir ya da değildir.



    Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Elbette Cantor'dan önce de, adına küme denilmese de, matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanıyorlardı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Onun çalışmaları ve sorularından yola çıkarak matematiğin temelleri incelendi, araştırıldı, çıkmazları keşfedildi, paradokslarından temizlendi. Bu gelişmeler, matematiğin ve özellikle formalist akımın 20. yüzyılın ilk yarısında büyük ürünler vermesini sağladı. Bunun etkisiyle, Türkiye'de örgün öğretim programlarına "Modern Matematik" olarak adlandırılan konular dahil edildi.


    BİRLEŞİM İŞLEMİ




    İki yada daha çok kümenin elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B iki küme ise bu iki kümenin birleşimi A È B şeklinde gösterilir.


    ÖRNEK :

    A = { a, b, c, d, e }, B = { c, e, f, m } ise A È B kümesini liste biçiminde yazalım.
    A È B = { a, b, c, d, e, f, m } dir.

    Birleşim İşleminin Özellikleri

    1.Boş küme ile herhangi bir kümenin birleşimi yine o kümedir.
    <b>

    A ÈÆ = A

    </b>
    2. Her kümenin kendisi ile birleşimi yine o kümeyi verir.

    AÈ A = A

    3. Birleşme işleminin değişme özelliği vardır.

    AÈ B = B È A

    4. Birleşme işleminin birleşme özelliği vardır.
    AÈ(B È C) = (A È B) È C

    5. A È B =Æise A = Æve B = Æ' dir.

    6. A Ì B ise A È B = B'dir.


    KESİŞİM İŞLEMİ

    İki yada daha çok kümenin ortak elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B kümesinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme A Ç B şeklinde gösterilir.


    ÖRNEK :

    A = { a ,b ,g ,h }, B = { h ,f ,c } veriliyor. A Ç B kümesini liste biçiminde yazalım.

    A Ç B={ h } dir.

    Kesişim İşleminin Özellikleri
    1. Boş küme ile herhangi bir kümenin kesişimi boş kümedir.

    A ÇÆ = Æ
    2. Her kümenin kendisi ile kesişimi yine o kümeyi verir.
    <b>

    A Ç A = A

    </b>
    3. Kesişim işleminin değişme özeliği vardır.
    <b>

    A Ç B = B Ç A

    </b>
    4. Kesişim işleminin birleşme özeliği vardır.

    5. A Ç B = Æ ise

    * A = Æveya B = Æ ' dir.

    * A ile B ayrık kümelerdir.

    6. (A Ç B), A ve (A Ç B) Ì B dir.

    AÌB ise A ÇB=A dir.
    7. Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.


    8. Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
    <b>

    A È(B Ç C) = (A È B)Ç (A È C)

    </b>
    9. s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
    10.s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A Ç B) - s(A Ç C)- s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

    İKİ KÜMENİN FARKI


    Kümelerin ortak elemanlarını atarak elde edilen yeni kümeye fark kümesi denir. "-" veya "\" ile gösterilir.


    ÖRNEK :
    A = { a, b, c, d, e }, B = { c, d, e, f } ise A \ B ve B \ Akümelerini liste biçiminde yazalım.

    A \ B = { a, b }

    B \ A = { f }
     

Bu Sayfayı Paylaş