Doğal Sayılar:Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda SeLeN tarafından 19 Kasım 2010 tarihinde açılan konu

  1. SeLeN

    SeLeN Site Yetkilisi Editör

    Sponsorlu Bağlantılar
    Doğal Sayılar:Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri konusu Doğal Sayılar Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri - Doğal Sayılar - Doğal Sayılarda Çıkarma İşlemi



    Doğal Sayılar:Toplama ve Çarpma İşleminin Özellikleri

    1) Birleşme Özelliği :19+36+4 işlemini yaparken önce 36 ile 4 ü toplayıp sonra 19 u eklemek daha kolaydır.Yani
    19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4) = 19 + 40 = 59
    Birleşme işlemi; en az üç sayı ile yapılan bir toplama işlemi düşünelim.Bu sayıları değişik sıralarla toplayalım.
    Hangi sırayla toplarsak toplayalım işlemin sonucu değişmeyecektir.Buna birleşme işlemi denir.
    Not: Parantezler hangi sayıları önce topladığımızı gösterir.
    Örneğin;
    (5+3)+7=8+7=15
    5+(3+7)=5+10=15 görüldüğü gibi sonuç aynı
    Aynısı çarpma işlemi için de geçerlidir.
    (2.3).4=6.4=24
    2.(3.4)=2.12=24 görüldüğü gibi sonuçlar aynı.
    O halde birleşme özelliği vardır.
    2) Değişme Özelliği
    2 sayı toplanırken veya çarpılırken eyrleri değiştirildiğinde sonuç da değişmiyorsa, değişme özelliği vardır denir.
    Buradan anladığımız şey şudur.
    Sayıların yerlerini değiştireceğiz fakat sonuç değişmeyecek.
    İnceleyelim.
    8+7=15
    7+8=15 ( sayıların yeri değişti fakat sonuç değişmedi)
    9.10=90
    10.9=90( sayıların yerleri değişti fakat sonuç aynı )
    sayıların yeri değişti fakat sonuçları değişmedi.
    Bu tür işlemlere değişme özelliği denir.
    3) Dağılma Özelliği
    Parantezin içinde toplama veya çıkarma işlemi, dışarıda da çarpma işlemi olduğunu düşünelim.
    Örneğin; 6.(2+5) veya 9.(5-3)
    Yukarıdaki gibi işlemlerde istersek önce parantez içini çözer, sonra dışarıdakiyle çarparız.
    Veya, dışarıdakini içeridekilerle tek tek çarpar ve sonuçları ya toplarız, ya da çıkarırız.
    Daha detaylı yapacak olursak, bir örnek üzerinden inceleyelim.
    Örneğin;
    204X6 yı kısa yolla çözelim
    204 × 6 = 200×6 + 4×6 = 1,200 + 24 = 1,224
    6.(2+5) burada önce 6 ile 2 yi çarparız, sonra yine 6 ile 5 i çarparız ve sonuçları toplarız ( arada toplama işareti olduğu için ).
    Çözüm: 6.(2+5)=6.2+6.5=12+30=42 olarak sonuç bulunur.
    Bir de 9.(5-3) işlemine bakalım.bu sefer 9 ile önce 5 i sonra 9 ile 3 ü çarpacağız fakat bu sefer sonuçları çıkartacağız ( arada çıkarma işlemi olduğu için )
    9.(5-3)=9.5-9.3=45-27=18 olarak sonuç bulunur.

    --------------------------------------------------------------------------------

    Toplama ve Çarpma işleminde 1 ile 0 ın etkisi
    Bildiğiniz gibi 1 sayısı toplama işleminde sonucu değiştirir fakat çarpma işleminde değiştirmez.
    Örneğin; 2+1=3 sonuç 2 den 3 e çıktı.
    2.1=2 sonuç önceden de 2 idi, yine 2
    Sıfır sayısı ise toplama işleminde sonucu değiştirmez ( etkisizdir) , çarpma işleminde ise sonucu değiştirir, sıfır yapar.Yani çarpma işleminde sıfır yutan elemandır.
    Örneğin; 2+0=2 sonuç değişmedi.
    2.0=0 sonuç sıfır oldu.

    --------------------------------------------------------------------------------

    İşlem önceliği:
    Birden çok işlem yan yana iken hangi sıra ile çözüm yapılır ?
    Çözüm yapılırken rastgele sırayla ilerleyemeyiz, herşeyin bir sırası bulunmakta.
    Örneğin;
    15-2.5 işleminde önce çıkarma, sonra çarpma işlemi görünmekte fakat burada önce çarpma işlemini yapmalıyız.
    Önce çıkarma işlemini yaparsak;
    15-2.5=13.5=65 sonucu elde edilir.
    Önce çarpma işlemi yapılırsa;
    15-10=5 olarak sonuç bulunur.
    ikincisi doğru sonuçtur.
    peki;
    (15-2).5 işlemine bakalım.
    Burada ise parantez olduğu için önce çıkarma, sonra çarpma işlemi yapılır.
    Yani;
    13.5=65 doğru sonuçtur.
    işlem önceliğinde; önce parantez içlerine bakılır, ardından varsa çarpma veya bölme, daha sonra da toplama veya çıkarma işlemi yapılır.
     
  2. Mavi_inci

    Mavi_inci Özel Üye

    Doğal Sayılar



    Doğal sayılar ,[​IMG] şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.

    Sayı değeri

    Bir doğal sayının rakamlarının belirttiği değere rakamların sayı değeri denir. Doğal sayının rakamlarının toplamına rakamların sayı değerleri toplamı denir.

    Basamak değeri


    9 basamaklı bir doğal sayının basamaklarının

    • Birler basamağının basamak değeri :9
    • Onlar basamağının basamak değeri :90
    • Yüzler basamağının basamak değeri :900
    • Binler basamağının basamak değeri :9000
    • On binler basamağının basamak değeri :90000
    • Yüz binler basamağının basamak değeri :900000

    Doğal sayılarda işlemler

    Doğal sayılar toplama ve çarpma işlemine göre kapalıdırlar. İki doğal sayının çarpımı veya toplamı yine bir doğal sayıdır. Örneğin : 3.5=15 , 7.9=63 İki doğal sayının farkı veya bölümü bir doğal sayı olmayabilir bu nedenle doğal sayılar çıkarma ve bölme işlemine göre kapalı değildir. Örn: 9-12 = -3 , 2/4 = 1/2 gibi.

    Toplama işlemi


    Toplama işlemi ileri doğru sayma işlemidir. Toplama işlemine katılan sayılara terim, işlemin sonucuna toplam denir. Toplama işlemi sayıların aynı basamakları arasında yapılır. Bu nedenle toplama işleminde sayılar aynı basamaklar alt alta gelecek şekilde yapılır.

    Doğal sayılarda toplama aşağıdaki cebirsel kurallara uyar:

    • Toplamsal birim öğe:
    a + 0 = a
    • Toplamanın değişme özelliği:
    a + b = b + a
    • Toplamanın birleşme özelliği:
    (a + b) + c = a + (b + c)
    • Toplamanın çarpma üzerine [[dağılma|dağılma özelliği:
    (a + b)c = ac + bc Bir a sayısını bir b sayısıyla toplamak, a sayısının b kere ardılını almak olarak tanımlanır. Daha matematiksel bir tanım verilmek istenirse Ard(n) gösterimi n sayısının ardılını ifâde etmek üzere, toplama aşağıdaki belitlerle tanımlanır:

    1. a + 0 = a
    2. a + Ard(b) = Ard(a + b)
    Bu belitlerden yola çıkarak ardıllık işlemini toplama cinsinden göstermek mümkündür: 2. belitte b=0 seçilirse
    a + Ard(0) = ard(a + 0) sıfırın adrılı birdir, o halde,
    Ard(a) = a + 1 olduğu kolaylıkla görülür.
     

Bu Sayfayı Paylaş