Binom Açılımı

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda Mavi_Sema tarafından 11 Ocak 2010 tarihinde açılan konu

  1. Mavi_Sema

    Mavi_Sema Özel Üye

    Sponsorlu Bağlantılar
    Binom Açılımı konusu Binom Açılımı ve Pascal Üçgeni’nin Öğrenciye Geleneksel Tanıtımı
    n b a ) ( + biçiminde ifade edilen binom açılımı ile R b a ∈ N n ∈ olmak üzere iki terimli ifadelerin
    pozitif tamsayı olan kuvvetlerinin açılımı bulunur. Binom açılımının çarpanlara ayırma alt küme
    sayılarını bulma ve olasılık hesaplarında geniş kullanım alanları vardır ve bundan dolayı cebir
    öğretiminde de önemlidir(Altun 2002 s.162).
    n b a ) ( + ifadesinin eşitinin bulunmasında ) ( b a + nin kendisi ile n defa çarpılacağı aşikardır. Bu
    durumu n=2 n=3 n=4 için örnek olarak vermek ve genelleme yapmak yerinde olacaktır.
    Sunuş: b a b a + = + 1 ) ( dir. 2 ) ( b a + yi bulmak için ) ( b a + ile ) ( b a + çarpılır. 3 ) ( b a + ’ü
    bulmak için ) ( b a + ile ) ( b a + ile ) ( b a + çarpılır ya da 2 ) ( b a + nin sonucuyla ) ( b a + çarpılır.
    4 ) ( b a + ’ü bulmak için ) ( b a + kendisiyle dört kere çarpılır ya da 3 ) ( b a + ’ün sonucuyla ) ( b a +
    çarpılır.
    Yukarıda yazılanlar bir tabloda gösterilirse (III):
    2 ) ( b a + = 3 ) ( b a + = 4 ) ( b a + =
    a + b
    a + b
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    b a a + 2
    2 b b a +
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    2 2 2 b b a a + +
    2 2 2 b b a a + +
    a + b
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    2 2 3 2 b a b a a + +
    3 2 2 2 b b a b a + +
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    3 2 2 3 3 3 b b a b a a + + +
    3 2 2 3 3 3 b b a b a a + + +
    a + b
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    3 2 2 3 4 3 3 b a b a b a a + + +
    4 3 2 2 3 3 3 b b a b a b a + + +
    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    4 3 2 2 3 4 4 6 4 b b a b a b a a + + + +
    Buradan elde edilen sonuçlar:
    1 ) ( 0 = + b a
    b a b a ⋅ + ⋅ = + 1 1 ) ( 1
    2 2 2 1 2 1 ) ( b b a a b a ⋅ + + ⋅ = +
    3 2 2 3 3 1 3 3 1 ) ( b b a b a a b a ⋅ + + + ⋅ = + (*)
    4 3 2 2 3 4 4 1 4 6 4 1 ) ( b b a b a b a a b a ⋅ + + + + ⋅ = +
    5 4 3 2 2 3 4 5 5 1 5 10 10 5 1 ) ( b b a b a b a b a a b a ⋅ + + + + + ⋅ = +
    İlköğretim-Online 62
    Öğrenciye söylenecekler: Görüldüğü gibi bu işlemler pek de zor değildir. Ancak devam edildiğinde
    her gerektiğinde n (n=12...n) için böyle bir işlemi yapmak zahmetlidir. Eğer tüm bu işlemler yerine
    bir kural olsa n b a ) ( + eşitliğini hesaplama işi daha kolay olacaktır. İşte bu ‘Binom Açılımı’ adı
    verilen kural ile olacaktır.
    Amaçlananın ne olduğu bu biçimde ifade edildikten sonra n b a ) ( + nin açılımındaki her bir terimin
    (ab ab) başındaki katsayılar ile pascal üçgeni arasındaki ilişkiyi ve pascal üçgeni hakkında bazı
    önemli bilgileri vermek yerinde olacaktır.
    n b a ) ( + açılımlarında karşılaşılan katsayılar yazılırsa:
    n=0 için 1
    n=1 için 1 1
    n=2 için 1 2 1
    n=3 için 1 3 3 1
    n=4 için 1 4 6 4 1
    n=5 için 1 5 10 10 5 1
    Gerçi bu katsayıların oluşturduğu üçgen Ömer Hayyam’ın (1100) orijinal çalışmalarında yer almakta
    ise de adını Fransız matematikçi Blaise Pascal ’dan (1623-1662) alan pascal üçgeninin (*)’daki
    katsayılardan oluştuğu görülecektir. Kenarlarda ‘1’ olmak üzere her sayının üstündeki iki sayının
    toplamı olarak yazılmakla oluştuğu pascal üçgeni bu eşkenar formdan farklı olarak (*)’dan da
    görülebileceği gibi dik üçgen formunda da gösterilmektedir. Bu üçgenin bazı özellikleri verilecek
    olursa: İkinci sıra (koyu renkli) doğal sayılar serisi; üçüncü sıra (italik rakamlı) üçgen sayılar
    (1361015...) dan oluşmakta; her satırdaki sayıların toplamı ‘sıfır’ dan başlamak üzere ‘2’ nin
    üslerini vermektedir 20 21222324... . Her sıranın yine ‘sıfır’ dan başlamak üzere kendi derecesinden
    bir polinomun katsayılarını vereceği ifadesiyle pascal üçgeninin binom açılımıyla ilişkisi netleşecektir
    (Örnek: 3 2 2 3 3 1 3 3 1 ) ( b b a b a a b a ⋅ + + + ⋅ = + ) (Büyükkeçeci IV).
    Ancak geleneksel yoldan sunulan bu ifade ve kavramlar çoğu zaman öğrenci için sade bir ezbermiş
    gibi olmaktan öteye gidememektedir. Cebir öğretiminde önemli bir yeri ve pek çok uygulama alanı
    olan binom açılımı öğretilirken iki terimli arasında ilişki kurulduğunda öğrenci bir olaya bakış açısı
    kazanacak ve zihninde canlandırarak ya da verilecek örnek olayı bir oyun (ya da senaryo) gibi
    algıla***** soyuttan somuta düşünmeye geçebilecektir.
    İlk olarak hikaye tanıtılır ve hikayenin hedefinin ne olduğu verilmekle işe başlanabilir.
    Hikayenin Kurgusu: Bir at ve bir boğa birlikte yürümektedir. Yürüyüşün başlangıcında atın sırtında n
    tane çuval var bir süre (sürenin hiçbir önemi yok) taşıdıktan sonra yorulmakta ve bunu boğayla
    paylaşmakta; bu paylaşım her defasında atın boğaya bir tane çuval vermesiyle gerçeklenmektedir. Bu
    rutin olayda atın sırtından bir çuval azalırken boğanın sırtında bir çuval artmaktadır. En sonunda atın
    sırtındaki bütün çuvallar boğanın sırtında olmaktadır. Yolun sonuna ulaştıklarında (hedefe) toplam
    kaç adım atmış oldukları bulunacaktır.
    Hikayenin Verilişinin Birinci Aşaması: Bu hikaye n n n n = = = ... 2 1 için at ve boğanın sırtındaki
    çuvalların durumu gözönüne alınarak kavratılmalı. Bu aşamada öğrenciye 1 = n den başla*****
    örnekler vermek yerinde olacaktır; kavradığı anlaşılana kadar yük sayılarını artırmak olanaklıdır.
    Sunuş: Her yürümeye başladıklarında at (a) çuvalların tamamını yüklenmiş olarak işe başlamakta
    boğa (b) da yanında yürümeye başlamakta ama hiç yükü olmadığı için görünmemektedir (b0=1 olarak
    görünüyor). Yürüyüşün son aşamasında da atın sırtında hiç yük yok (a0=1). Şimdi örnek verilirse:
    Atın sırtında 1 tane çuval olsun ( 1 = n ): a bir süre yürüyor ve çok yorulup çuvalı boğaya veriyor:b.
    İlköğretim-Online 63
    Atın sırtında 2 tane çuval olsun ( 2 = n ): 2 a bir süre yürüdükten sonra yoruldu ve 1 çuvalı bağaya
    verdi: ab yürümeye devam ettiler ve at yorulup kalan çuvalı boğaya verdi: b2.
    Atın sı_yü______krtında 3 tane çuval olsun ( 3 = n ): a3 yoruldu birisini boğaya verdi: a2b bir süre yürüdükten
    sonra at yine yorulup çuvalın 1 tanesini daha boğaya verdi: ab2 yürüyüşün sonuna geldiklerinde at çok
    yoruldu ve son kalan çuvalı da boğaya verdi: b3.
    ...
    Böylece devam edilirse
    Atın sırtında n tane çuval olsun ( n n = ): n a yoruldu birisini boğaya verdi: b an 1 − bir süre
    yürüdükten sonra at yine yorulup boğaya 1 çuval daha verdi: 2 2b an− ... yürüdükleri yol boyunca atın
    sırtında 1 tane çuval boğanın sırtında ise atın verdiği çuvallardan 1 = n tane oldu: 1 − n ab ve sonunda
    tüm yükü boğa aldı: n b .
    Bu örnek olayı verirken atın verdiği ve boğanın aldığı yüklerin toplamının aynı sayıyı koruduğu
    vurgulanmalıdır: At sırtındaki n tane çuvalı boğaya vermekte ama bu yük sayısının toplamı hiçbir
    zaman değişmemektedir (üsler toplamı) ve at tüm çuvalları boğaya verdiğinde boğadaki çuval sayısı
    yine son aşamada n yi korumaktadır.
    Henüz bir toplam verilmeden (‘toplam attıkları adım sayısı nedir?’ sorusuna cevap vermeden) sadece
    at ve boğanın gözönüne alınan bu durumları sırası takip edilerek yazılırsa:
    1 = n tane yük var: a b
    2 = n tane yük var: a2 ab b2
    3 = n tane yük var: a3 a2b ab2 b3
    4 = n tane yük var: a4 a3b a2b2 ab3 b4
    ...
    n n = tane yük var: an an-1b an-2b2 ... abn-1 bn
    Bu aşamadan sonra artık şu soruyu sormak yerinde olur: At ve boğa atın sırtındaki bütün çuvallar (n
    tane n=12...n) boğanın sırtında olup yolun sonuna geldiklerinde toplam kaç adım atmış olacaklardır?
    Yalnız burada dikkati çekmek gerekir ki toplama işlemini oluşturan terimlerin sayısı kadar adım
    atmamakta; attıkları toplam adım sayısı sırttaki yükle değişim sayısını vermektedir.
    Hikayenin Verilişinin İkinci Aşaması: At ve boğa çuvalları değişerek yürürken adım atmaktalar. Her
    yük değişiminden sonra adım sayıları atın sırtından azalan yüke ve değişimin olduğu zamana kadar
    atılan adıma bağlı olarak bu değişimin başına yazılmaktadır. Atın sırtındaki bütün çuvallar boğanın
    sırtında olunca yolun sonuna varmış olmaktadırlar. Hedefe vardıklarında toplam adım sayısı her
    değişimde öne yazılan adım sayıları toplanarak bulunur.
    Sunuş:
    ÖRNEK 1. At ve boğa adım atarak birlikte yürümeye başlıyorlar. At sırtına 2 çuval yük alıyor (Her
    başlangıç için boğanın da yanında olduğu ancak hiç yükü olmadığı için 1 0 = b olarak alındığı
    kabuldür). Bir süre yürüdükten sonra at yoruluyor ve sırtındaki 1 çuvalı boğaya veriyor. Şu ana kadar
    acaba kaç adım attılar? Her defasında ilk olarak atın çuvalların hepsini sırtına alması 1 adım atması
    olacaktır ve bu ilk durumun ifadesi: 1.a2. Şimdi atın 1 çuvalı boğaya verdiği haldeki duruma bakılırsa
    (bu durum sorular ve verilen cevaplardan oluşmaktadır); atın sırtında kaç yük vardı?:2 kaç adım
    atmıştı?: 1 2.1=2. At şimdiye kadar kaç defa yük değiştirdi?: 1 ve 2:1=2 olup bir sonraki değişimin
    başına yazılırsa 2ab bulunur. Yürümeye devam ediyorlar ve at çok yorulup kalan çuvalı da boğaya
    veriyor ve artık tüm çuvallar boğada. Acaba bu aşamada kaç adım atıldı? Önce baştan bu son duruma
    gelene kadar ki durumlar dikkate alınırsa a2 2ab bulunduğu görülür. Bu durumda toplam 2 değişim
    olmuştur. O halde son aşamadaki atılan adım sayısını bulmak için izlenecek sorular: Atın sırtında kaç
    çuval kalmıştı?:1 bundan önceki yük değişiminde (ab) kaç adım atmışlardı?: 2 2.1=2. At çuvalların
    hepsini bıraktığında kaç değişim oldu?: 2 2:2=1. O halde sondaki adım sayısı:1 olup b2 olacak (Atın
    sırtında hiç çuval kalmadığından yazılmaz a0).
    İlköğretim-Online 64
    (1) 2 A    → 
    Degisim . 1
    (2) 3 2 1
    2 1 2
    2 1 2
    1 1
    = ÷
    = ×
    B A    → 
    Degisim . 2
    (1) 3 2 1
    1 2 2
    2 1 2
    2
    = ÷
    = ×
    B
    Toplam adım sayısı yazılırsa: 1+2+1=4 4=22.
     

Bu Sayfayı Paylaş