İntegral Testi

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda SeLeN tarafından 8 Kasım 2010 tarihinde açılan konu

  1. SeLeN

    SeLeN Site Yetkilisi Editör

    Sponsorlu Bağlantılar
    İntegral Testi konusu Testin ifadesi - Yakınsaklık ve ıraksaklık arasındaki sınır çizgisi



    Testin ifadesi

    Bir N tamsayısını ve sınırsız [N, ∞) aralığında tanımlı monoton azalan bir f
    fonksiyonunu ele alalım. O zaman, [​IMG] serisi ancak ve ancak
    [​IMG] integrali sonlu ise, yakınsaktır. Özelde, integral ıraksar ise, o zaman seri de ıraksar.

    Kanıt

    Kanıt basit bir şekilde f(n) terimini f 'nin [n − 1, n] ve [n, n + 1] aralıkları üzerindeki integralleriyle karşılaştırarak, karşılaştırma testini kullanmaktadır
    f , monoton azalan bir fonksiyon olduğu için,
    [​IMG] ve
    [​IMG] olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, N 'den büyük n için,
    [​IMG] Alt tahmin de aynı zamanda f(N) için geçerli olduğu için, N 'den belli bir MM, N 'den büyüktür) tamsayısına kadar n üzerinden toplamlarla
    ( [​IMG] elde ederiz. M sonsuza giderse, sonucu elde ederiz.

    Uygulamalar

    Harmonik seri
    [​IMG] ıraksar çünkü doğal logaritmayı, türevini ve hesabın temel teoremini
    kullanarak [​IMG] elde edilir.
    Tersine,
    [​IMG] serisi (Riemann zeta fonkisyonu ile karşılaştırınız) her ε > 0 için ıraksar çünkü
    [​IMG]

    Yakınsaklık ve ıraksaklık arasındaki sınır çizgisi

    Yukarıdaki harmonik serileri de içeren örnekler şu soruyu beraberinde getirir: Terimleri f(n) olan ve 1/n 'den daha hızlı bir şekilde 0'a doğru azalan; ancak, 1/n1+ε 'dan her ε > 0 için
    [​IMG] bağlamında 0'a doğru daha yavaş azalan monoton bir seri var mı ve bu seri yine de ıraksar mı? Böyle bir seri bulunur bulunmaz, aynı soru 1/n 'nin yerini almış f(n) ile de sorulabilir vs. Bu yolla, ıraksaklık ve yakınsaklık arasındaki sınır çizgisini araştırmak mümkündür.
    İntegral testini kullanarak, her k doğal sayısı için
    [​IMG] serisinin hala ıraksadığı gösterilebilir (k = 1 için, asalların terslerinin toplamı ıraksar ile karşılaştırınız.); ancak
    [​IMG] serisi her ε > 0 için yakınsar. Burada, lnk doğal logaritmanın arka arkaya k kere bileşkesinin alınmasını göstermektedir:
    [​IMG] Dahası, Nk bu k bileşkenin iyi tanımlı olduğu ve lnk Nk ≥ 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayıyı gösterir; yani
    [​IMG] İlk serinin ıraksaklığını integral testi ile görmek için, zincir kuralının arka arkaya kullanımının
    [​IMG] verdiğini görmemiz gerekir. Bu yüzden
    [​IMG] İkinci serinin yakınsaklığını görmek için, kuvvet serisi, zincir kuralı ve yukarıdaki sonucun
    [​IMG] verdiğini görmeliyiz. Bu yüzden,
    [​IMG] olur.

    Vikipedi, özgür ansiklopedi
     

Bu Sayfayı Paylaş