Üçgende Açıortay ve Kenarortay Bağıntıları Konu Anlatımı

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda Mavi_Sema tarafından 23 Mayıs 2009 tarihinde açılan konu

  1. Mavi_Sema

    Mavi_Sema Özel Üye

    Sponsorlu Bağlantılar
    Üçgende Açıortay ve Kenarortay Bağıntıları Konu Anlatımı konusu
    • ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
    1. Açıortay
    Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
    Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
    [​IMG]
    Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
    AOB bir açı,
    [OC açıortay
    m(AOC) = m(COB)
    |AC| = |CB| AOC ve BOC eş
    üçgenler olduğundan
    |OA| = |OB|
    [​IMG]

    2. İç Açıortay Bağıntısı

    ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC
    üçgenlerinin
    [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
    [​IMG] olur .....(1)
    [​IMG]

    ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
    [​IMG] olur .....(2)

    [​IMG]

    [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den

    [​IMG]

    olur ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla

    [​IMG] Buradan [​IMG] ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir.

    [​IMG]

    3. İç Açıortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde
    A köşesinden çizdiğimiz açıortay
    uzunluğuna nA dersek
    [​IMG] [​IMG]

    4. Dış Açıortay Bağıntısı
    ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
    [​IMG] [​IMG]

    5. Dış Açıortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna

    n'A dersek
    [​IMG]
    [​IMG]

    6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı


    m(DAE)=90°
    [​IMG]
    ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
    2a + 2b = 180°
    a + b = 90° dir.
    [DA] ^[AE]
    • Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.
    P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.
    [​IMG]
    • ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI
    1. Ağırlık Merkezi

    Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.

    ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
    kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
    denir.
    [​IMG]

    a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
    ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
    orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
    [​IMG] eşitlikleri vardır.
    [​IMG]

    b
    . Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.
    [​IMG]

    c.
    ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
    ağırlık merkezidir.
    [​IMG]

    d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
    [​IMG]

    e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
    eşitliğini sağlayan G noktası ABC
    üçgeninin ağırlık merkezidir.
    [​IMG]

    2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
    ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
    |AG|=|DC|=|BD|
    [​IMG]

    3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar


    a.
    Kenarortaylar
    üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
    [​IMG]

    b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
    [​IMG]

    c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
    [​IMG]

    4.
    ABC üçgeninde
    kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
    |KG| = x
    |GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
    [​IMG]
    K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
    [FE] //[BC] 2[FE]=[BC]

    a.
    ABC üçgeninde
    kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
    [​IMG]

    b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.
    [​IMG]

    5. Kenarortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
    kenarortayın uzunluğuna Va dersek
    [​IMG]
    Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.

    [​IMG]
    Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

    [​IMG]
    Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
    [​IMG]
    6. Dik Üçgende Kenarortaylar
    A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında
    [​IMG] [​IMG]
     

Bu Sayfayı Paylaş