Özel Üçgenler

'Konu Dışı Başlıklar' forumunda Mavi_Sema tarafından 6 Mayıs 2009 tarihinde açılan konu

  1. Mavi_Sema

    Mavi_Sema Özel Üye

    Sponsorlu Bağlantılar
    Özel Üçgenler konusu
    Özel Üçgenler... - Matematik Ders Konuları...



    DİK ÜÇGEN

    Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde, m(A) = 90°
    [BC] kenarı hipotenüs
    [AB] ve [AC] kenarları
    dik kenarlardır.


    PİSAGOR BAĞINTISI

    Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde m(A) = 90°
    a2=b2+c2


    ÖZEL DİK ÜÇGENLER

    1. (3 - 4 - 5) Üçgeni

    Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir. (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), � gibi


    2. (5 - 12 - 13) Üçgeni

    Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir. (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), � gibi.


    Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.


    Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir.


    3. İkizkenar dik üçgen

    ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2
    m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende
    hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır.


    4. (30° � 60° � 90°) Üçgeni
    ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde
    ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)
    üçgenleri elde edilir.


    |AB| = |AC| = a
    |BH| = |HC| =

    (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60° nin karşısındaki kenar,
    30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır.


    5. (30° - 30° - 120°) Üçgeni (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur.

    6. (15° - 75° - 90°) Üçgeni (15° - 75° - 90°) üçgeninde
    hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs
    |BC| = 4h olur. Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört
    katıdır.


    ÖKLİT BAĞINTILARI

    Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır.

    1. Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir.
    h2 = p.k

    2. b2 = k.a c2 = p.a

    3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde


    a.h =b.c
    Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir.

    Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

    İKİZKENAR ÜÇGEN

    İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.


    1. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|

    |BH| = |HC|
    m(B) = m(C)

    2. Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|,

    [AH] ^ [BC]
    m(B) = m(C)

    3. Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir. |AB| = |AC|

    m(BAH) = m(HAC)
    m(B) = m(C)

    İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir.

    4. İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur.

    5. İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.


    6. İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.


    7. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir.

    |AB| = |AC| ; |LC| = |HP| + |KP|


    8. İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir.



    EŞKENAR ÜÇGEN

    1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir. nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc


    2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik geo_3.80.gif Bu durumda eşkenar üçgenin alanı yükseklik cinsinden alan değeri


    3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

    4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

     
  2. Mavi_inci

    Mavi_inci Özel Üye

    Özel Dik Üçgenler


    Açıya Göre


    45-45-90 Üçgeni


    [​IMG]

    45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir. Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır. Oran aşağıdaki gibidir:[​IMG]
    [​IMG]



    İspatı ise çok basittir. Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır. Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar.[​IMG]

    ...30-60-90 Üçgeni.....



    [​IMG]



    [​IMG]
    30-60-90 üçgeni ve ispatı


    Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:
    [​IMG]


    Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır. İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır. Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir. Aynı zamanda da açıortay olacaktır. Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır. Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır. Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır.[​IMG][​IMG]

    22,5-67,5-90 Üçgeni


    [​IMG]



    Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur. İspatı ise 67,5°'lik açıyı 45° ve 22,5° şeklinde parçalayarak yapılır. Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs cm olur. Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur. Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından elde edilir. Ve yine kaynaklarda pek bahsedilmeyen ama soruların çözümünde kolaylık sağlayan bir özellik: 22,5-67,5-90 üçgeninde hipotenüs, dik köşeden hipotenüse indirilen dikmenin 2 katı olur.[​IMG][​IMG][​IMG][​IMG]

    15-75-90 Üçgeni


    [​IMG]

    Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur. İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir. Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılara bölünmesidir.[​IMG]

    Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün katıdır.[​IMG]

    Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır. Bazı özel üçgenler şunlardır:


    Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10).

    Ayrıca herhangi bir tek sayıyı kenar uzunluğu olarak belirlersek karesinin ardışık toplamları da diğer iki kenarı verecektir. Örnek olarak; 7=>7'nin karesi 49=25+24 7,25,24 şeklinde özel bir dik üçgen vardır. 9=>9'un karesi 81=40+41 9,40,41 şeklinde özel bir dik üçgen vardır. Ve dik üçgende kenarların tamsayı olduğu koşulda, en kısa kenarı tek sayı ise kalan kenarların bu kurala uyması şarttır.


    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]
     
  3. Çok teşekkürler. Çok işime yaradı
     

Bu Sayfayı Paylaş